Большая советская энциклопедия - квантор

Квантор (от лат. quantum — сколько), логическая операция, дающая количественную характеристику области предметов, к которой относится выражение, получаемое в результате ее применения. В обычном языке носителями таких характеристик служат слова типа «все», «каждый», «некоторый», «существует», «имеется», «любой», «всякий», «единственный», «несколько», «бесконечно много», «конечное число», а также все количественные числительные. В формализованных языках, составной частью которых является исчисление предикатов, для выражения всех подобных характеристик оказывается достаточным К. двух видов: К. (все) общности (оборот «для всех х», обозначается через "x, ("x), (x) (Ax), ) и К. существования («для некоторых х», обозначения: $x, ($x), (Ех), С помощью К. можно записать четыре основных формы суждений традиционной логики: «все А суть В» записывается в виде "x A (x)E EB (x), «ни одно A не есть B» — в виде "x A (x)EB (x), «некоторые А суть B» — в виде $x A (x)&B (x), «некоторые А не суть В» — в виде $x A (x)& B (x) (здесь А (х) означает, что х обладает свойством A, E — знак импликации, — отрицания, & — конъюнкции). Часть формулы, на которую распространяется действие каких-либо К., называется областью действия этого К. (ее можно указать с помощью скобок). Вхождение какой-либо переменной в формулу непосредственно после знака К. или в область действия К., после которого стоит эта переменная, называется ее связанным вхождением. Все остальные вхождения переменных называются свободными. Формула, содержащая свободные вхождения переменных, зависит от них (является их функцией); связанные же вхождения переменных можно «переименовывать»; например, записи $x (x = 2y) и $z (z = 2y) означают одно и то же, чего нельзя сказать о $x (x = 2y) и $x (x = 2t). Применение К. уменьшает число свободных переменных в логическом выражении и превращает (если К. не «фиктивный», т. е. относится к переменной, действительно входящей в формулу) трехместный предикат в двухместный, двухместный — в одноместный, одноместный — в высказывание. Употребление К. кодифицируется специальными «постулатами квантификации» (присоединение которых к исчислению высказываний по существу и означает расширение его до исчисления предикатов), например, следующими «постулатами Бернайса»: аксиомами A (t) E $xA (x) и "xA (x) E A (t) и правилами вывода «если доказано С EА (х) E С, то можно считать доказанным и С E "хA (х)» и «если доказано А (х) EС, то можно считать доказанным и $ хA (x) E C» (здесь х не входит свободно в С). К К. общности и существования сводятся и др. виды К., например вместо так называемого К. единственности $! x («существует единственный х такой, что») можно писать «обычные» К., заменяя $! xA (x) на $ xA (x) &"y"z A (y)&A (z) E y = z. Аналогично, К., «ограниченный» каким-либо одноместным предикатом P (x)($xP (x), читается как «существует x, удовлетворяющий свойству Р и такой, что», а "xp (x) — «для всех х, удовлетворяющих свойству Р, верно, что»), легко выразить через К. общности и существования и операторы импликации и конъюнкции: $xp (x) A (x) ? $x P (x)&A (x) и "xp (x) A (x) ? "x P (x)EA (x). Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, с. 72—80, 130—138; Черч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, с. 42—48. Ю.А. Гастев.